Bangun Datar

Published January 14, 2012 by andayanif3

BANGUN DATAR

Bangun datar dalam matematika disebut bangun geometri.
Macam-macam bangun datar
SEGITIGA

Segitiga merupakan bangun geometri yang dibentuk oleh 3 buah garis saling bertemu dan membentuk 3 buah titik sudut.
Bangun segitiga dilambangkan dengan ∆.
Jumlah sudut pada segitiga besarnya 180⁰.
Jenis-jenis segitiga :
1.    Segitiga Sama Sisi
mempunyai 3 sisi sama panjang.
mempunyai 3 sudut sama besar yaitu 60⁰.
mempunyai 3 simetri lipat.
mempunyai 3 simetri putar.

2.    Segitiga Sama Kaki
mempunyai 2 sisi yang berhadapan sama panjang.
mempunyai 1 simetri lipat.
mempunyai 1 simetri putar.

3.    Segitiga Siku-Siku
mempunyai 2 sisi yang saling tegak lurus.
mempunyai 1 sisi miring.
salah satu sudutnya adalah sudut siku-siku yaitu 90⁰.
tidak mempunyai simetri lipat dan putar.

PERSEGI
Persegi adalah bangun datar yang dibatasi 4 sisi yang sama panjang.
Mempunyai 4 titik sudut.
Mempunyai 4 sudut siku-siku 90⁰.
Mempunyai 2 diagonal yang sama panjang.
Mempunyai 4 simetri lipat.
Mempunyai 4 simetri putar.

PERSEGI PANJANG
Persegi panjang merupakan bangun datar yang mempunyai 4 sisi.
Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
Sisi-sisi persegi panjang saling tegak lurus
Mempunyai 4 sudut siku-siku 90⁰.
Mempunyai 2 diagonal yang sama panjang
Mempunyai 2 simetri lipat.
Mempunyai 2 simetri putar

JAJARAN GENJANG
Jajaran genjang merupakan bangun datar yang mempunyai 4 buah sisi.
Sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang.
Dua sisi lainnya tidak saling tegak lurus.
Mempunyai 4 sudut, 2 sudut berpasangan dan berhadapan.
Sudut yang saling berdekatan besarnya 180⁰.
Mempunyai 2 diagonal yang tidak sama panjang.
Tidak mempunyai simetri lipat dan simetri putar.

BELAH KETUPAT
Belah ketupat merupakan bangun geometri yang dibatasi 4 sisi sama panjang.
Mempunyai 4 titik sudut.
Sudut yang berhadapan besarnya sama.
Sisinya tidak tegak lurus.
Mempunyai 2 diagonal yang berbeda panjangnya.
Mempunyai 2 simetri lipat.
Mempunyai 2 simeteri putar.

LAYANG-LAYANG
Layang-layang adalah bangun geometri berbentuk segiempat yang terbentuk dari dua segitiga sama kaki yang alasnya berhimpitan.
Mempunyai 4 sisi sepasang-sepasang yang sama panjang.
Mempunyai 4 buah sudut.
Sepasang sudut yang berhadapan sama besar.
Mempunyai 2 diagonal berbeda dan tegak lurus.
Mempunyai 1 simetri lipat.
Tidak mempunyai simetri putar

TRAPESIUM
Trapesium adalah bangun segiempat dengan sepasang sisi berhadapan sejajar.
Tiap pasang sudut yang sisinya sejajar adalah 180⁰.
Jenis-jenis trapesium :
a.    Trapesium Sembarang    -  mempunyai sisi-sisi yang berbeda.
b.    Trapesium Siku-SIku     -  mempunyai sudut siku-siku.
c.    Trapesium Sama Kaki    -  mempunyai sepasang kaki sama panjang

LINGKARAN
Lingkaran merupakan kurva tertutup sederhana beraturan.
Jumlah derajat lingkaran sebesar 360⁰.
Lingkaran mempunyai 1 titik pusat.
Mempunyai simetri lipat dan simetri putar yang jumlahnya tidak terhingga.
Istilah-istilah dalam lingkaran :

1.    Diameter lingkaran (d) yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada busur lingkaran melalui titik pusat lingkaran.

2.    Jari-jari lingkaran (r) yaitu ruas garis yang menghubungkan titik pada busur lingkaran dengan titik pusat lingkaran.

3.     Tali busur yaitu garis yang menghubungkan dua titik pada busur lingkaran dan tidak melewati titik pusat lingkaran.

4.    Busur yaitu bagian lingkaran yang dibagi oleh tali busur.

5.    Juring yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh 2 jari-jari maupun busur lingkaran.

6.    Susut pusat yaitu sudut yang dibentuk oleh 2 buah jari-jari.

Ruas garis

Published January 14, 2012 by andayanif3

MEMBAGI RUAS GARIS

Sebuah ruas garis dapat menjadi dua bagian yang sama panjang dengan menggunakan garis sumbu. Jika ruas garis   akan dibagi menjadi 3 bagian yang sama maka ikuti langkah-langkah sebagai berikut :
1.    Letakkan titik P pada sembarang tempat.
2.    Lukis   dengan panjang sembarang.
3.    Lukis   dengan panjang sembarang.
4.    Dengan pusat titik p, lukis sebuah busur dengan jangka sehingga busur tersebut memotong   di titik S.
5.    Dengan pusat titik S, lukis sebuah busur dengan jangka sehingga busur tersebut memotong   di titik T dan   =
6.    Dengan pusat titik T, lukis sebuah busur dengan jangka sehingga busur tersebut memotong   di titik U dan   =
7.      akan dibagi menjadi 3 bagian, kita sudah menapatkan 3 titik (S, T dan U). Hubungkan titik U dengan titik Q.
8.    Dengan pusat titik U dan jari-jari   buat busur sehingga memotong   di K.
9.    Dengan pusat titik K dan jari-jari   buat busur sehingga berpotongan dengan busur yang pusatnya titik T di titik L.
10.    Dengan pusat titik L dan jari-jari   buat busur sehingga berpotongan dengan busur yang pusatnya titik S di titik M.
11.    Tarik garis melalui M dan S yang memotong   di N.
12.    Tarik garis melalui L dan T yang memotong   di O.

SIFAT SIFAT GARIS SEJAJAR
1.    Kedudukan Dua Garis

Dari gambar kubus ABCD.EFGH di atas terdepat beberapa kedudukan garis yaitu :
a)    Garis AB dan EF disebut sejajar, sering ditulis AB      EF.
b)    Garis AB dan garis AD disebut berpotongan di titik A.
c)    Garis AB dan garis CG disebut bersilangan. Garis yang bersilangan tidak sejajar dan tidak berpotongan.

Group

Published January 14, 2012 by andayanif3

PEMANFAATAN PETA KONSEP

DALAM MENYELESAIKAN SOAL PEMBUKTIAN PADA TEORI GROUP


PENDAHULUAN
Mata kuliah struktur aljabar merupakan salah satu mata kuliah yang diberikan pada program strata-1 (S1) pendidikan matematika. Pemberian mata kuliah tersebut dimaksudkan agar mahasiswa memahami beberapa struktur dalam aljabar, dan dapat menerapkannya untuk menyelesaikan masalah yang sederhana dalam aljabar, serta mampu berpikir logis dan bernalar secara matematika dalam menyelesaikan suatu masalah. Dengan demikian, mata kuliah struktur aljabar sangat penting untuk dikuasai mahasiswa dalam rangka meningkatkan daya nalar yang deduktif, logis dan sistematis.
Mata kuliah struktur aljabar sebagai bagian dari aljabar modern merupakan mata kuliah dengan struktur deduktif aksiomatis yang ketat. Sebagaimana yang dikemukakan Birkhoff (1941: v) “the most striking characteristics of modern algebra is the deduction of theoritical properties of such formal systems as groups, rings, fields, and vector spaces”. Untuk itu, struktur aljabar sarat dengan definisi dan teorema sehingga mahasiswa dalam mempelajarinya dituntut kemampuan untuk membuktikan teorema, dan dapat memanfaatkan definisi dan teorema-teorema yang ada dalam menyelesaikan soal-soal yang pada umumnya berbentuk pembuktian. Kromodihardjo (1990: 11.1) menegaskan bahwa pada mata kuliah struktur aljabar kita tidak melakukan perhitungan, tetapi hanya belajar konsep.
Pentingnya kemampuan pembuktian dalam mata kuliah struktur aljabar dapat di lihat pada buku-buku teks yang selalu mencantumkan soal-soal yang berbentuk pembuktian. Seperti buku-buku teks yang ditulis Birkhoff (1941, 1979), Fraleigh (1989); Herstein (1975);  Kromodihardjo (1988); Sukahar (1997); Suradi (1997) pada umumnya soal-soal yang diberikan merupakan soal pembuktian.
Berdasarkan pengalaman penulis dalam mengajarkan mata kuliah struktur aljabar di FMIPA Universitas Negeri Makassar, nampak bahwa kemampuan mahasiswa dalam pembuk-tian masih kurang menggembirakan. Hal ini dapat kita lihat dari pekerjaan mahasiswa dalam menyelesaikan soal struktur aljabar. Mereka masih mengalami kesulitan dalam mengkaitkan informasi yang diketahui dan yang akan dibuktikan dalam soal. Walaupun dalam proses perkuliahan setiap latihan selalu dimunculkan soal pembuktian. Mungkin, mahasiswa kesulitan mengkaitkan konsep-konsep yang begitu banyak terhadap permasalahan yang dihadapinya, sehingga mengalami kesulitan menentukan langkah yang akan ditempuh dalam membuktikan soal tersebut. Salah satu cara yang dapat mengatasi kesulitan tersebut, adalah memanfaatkan peta konsep.
PEMBUKTIAN DALAM TEORI GRUP
Mata kuliah struktur aljabar memperkenalkan konsep tentang aljabar abstrak yang lebih ditekankan pada kemampuan berpikir logis dan bernalar sistematis dalam menyelesaikan masalah. Isi mata kuliah ini berdasarkan kurikulum pendidikan matematika dan ilmu pengetahuan alam tahun 1990, untuk program S1 LPTK adalah: (1) Tinjauan ulang tentang operasi dan himpunan, pemetaan dan relasi ekivalen, (2) Grup meliputi: sifat-sifat dan contoh grup, order grup, sifat-sifat dan contoh grup  siklis, subgrup normal, homomorfisma grup, peta dan kernel, (3) Ring meliputi: sifat-sifat dan contoh ring, homomofisma ring, daerah integral, field dan ideal, dan (4) Ring polinom atas field bilangan real.
Pembahasan dalam artikel ini difokuskan pada topik teori grup dan dibatasi pada topik yang dikategorikan sebagai grup elementer. Beberapa topik dalam grup elementer yang dimaksud adalah (1) definisi grup; (2) sifat-sifat sederhana dari grup, (3) definisi subgrup, (4) beberapa teorema tentang subgrup. Topik-topik dalam grup elementer ini, didasari oleh beberapa aksioma. Hal ini dapat di lihat dari definisi grup berikut:
Misalkan G adalah himpunan yang tidak kosong dan * operasi yang didefinisikan dalam G.   disebut grup jika memenuhi:
(1)                (sifat tertutup)
(2)        (sifat assosiatif)
(3)      (ada elemen identitas)
(4)      (ada elemen invers)
Selanjutnya sifat (1), (2), (3), dan (4) biasa disebut aksioma dari grup. Menurut Soedjadi (1999/2000) “aksioma” merupakan “pernyataan pangkal” dalam struktur matematika, yang diperlukan agar dapat dihindarkan berputar-putar dalam pembuktian. Sedangkan istilah sistem  diartikan sebagai “sekumpulan unsur-unsur atau elemen yang terkait satu sama lain dan mempunyai tujuan tertentu”, dan struktur diartikan sebagai “suatu sistem yang didalamnya memuat atau diperhatikan adanya hubungan yang hirarkis”.
Lebih lanjut Soedjadi mengemukakan bahwa suatu kumpulan aksioma dapat merupakan sebuah sistem apabila memenuhi (1) konsisten: aksioma-aksioma tersebut tidak kontradiktif; (2) independen: aksioma yang satu tidak dapat diturunkan dari aksioma yang lain; dan (3) komplit atau lengkap: pernyataan yang diturunkan dari sistem tersebut dapat dibuktikan kebenaran dan kesalahannya. Oleh karena itu, kumpulan keempat aksioma dalam grup yang disebutkan di atas membentuk sebuah sistem aksioma, yang disebut sistem aksioma grup.
Berdasarkan uraian di atas, untuk menyelesaikan soal-soal pembuktian dalam teori grup, diperlukan pemahaman yang mendalam tentang struktur grup (aksioma-aksioma, konsep-konsep yang didefinisikan, teorema-teorema). Salah satu cara untuk memahami keterkaitan antara struktur dalam teori grup adalah menggunakan peta konsep. Untuk itu, yang akan dibahas lebih lanjut adalah pemanfaatan peta konsep dalam menyelesaikan soal-soal pembuktian dalam grup.
Pembuktian merupakan salah satu masalah dalam matematika. Menurut Polya (1981: 119) masalah dalam matematika dikelompokkan menjadi dua jenis, yaitu masalah untuk menemukan (problem to find) dan masalah untuk membuktikan (problem to prove). Menurut Polya tujuan pembuktian adalah untuk menunjukkan bahwa suatu pernyataan itu adalah benar atau salah, tidak kedua-duanya. Kita harus menjawab pertanyaan “apakah itu benar atau salah?” (tentu dalam lingkup logika dikotomis).
Proses dalam pembuktian matematika dapat menggunakan definisi, teorema atau pernyataan yang telah dibuktikan sebelumnya. Oleh karena itu dalam memantapkan keyakinan akan bukti yang telah diperoleh, setiap langkah yang digunakan dalam pembuktian harus selalu dipertanyakan “mengapa” dan “apa alasannya” langkah tersebut dilakukan. Demikian juga dalam membuktikan soal pada teori grup, setiap langkah yang ditempuh senantiasa harus dipertanyakan keabsahannya. Untuk itu, penguasaan konsep merupakan syarat utama dalam menyelesaikan soal pembuktian.
Menurut Asikin (1997: 12) bahwa berbagai soal pembuktian yang ada pada: (1) buku teks struktur aljabar, dan (2) soal-soal yang sering dimunculkan dalam ujian tengah semester, quiz, maupun ujian akhir semester, hanya berkisar pada beberapa masalah berikut:
1.    membuktikan berdasar aksioma yang telah diketahui atau berdasar teorema, apakah suatu himpunan beserta operasi yang didefinisikan merupakan grup atau bukan.
2.    membuktikan sifat tunggalnya elemen identitas dan invers.
3.    membuktikan apakah suatu grup abelian atau bukan berdasar persyaratan yang diberikan.
4.    membuktikan apakah suatu subset takkosong dari suatu grup yang diberikan merupakan subgrup atau bukan.

Selanjutnya Hart (dalam Asikin, 1997) mengklasifikasikan beberapa tipe soal pembuktian dalam teori grup elementer sebagai berikut:
1.    ”satisfy axioms proof” – where one has to prove that something is a group.
Contoh (soal 1): Misalkan G himpunan bilangan rasional positif, dan operasi   dalam G didefinisikan oleh  . Buktikan bahwa   merupakan grup.
2.    “set-definition proof” – where one has to prove that particular subset, given by a defining property, is subgroup.
Contoh (soal 2): Buktikan bahwa   adalah suatu subgrup dari G, jika   suatu grup dan  .
3.    “uniqueness proof” – where one has to prove the existence of a unique ‘idempotent’ element.
Contoh (soal 3): Misalkan   adalah grup, dan definisikan   disebut elemen idempoten bila  a a = a.  Buktikan bahwa grup G mempunyai tepat satu elemen idempoten.
4.    “syntactic proof” – where one uses a syntactic. i.e. a procedural. ‘symbol-pushing’ to prove that given a group is abelian.
Contoh (soal 4):
Jika G adalah grup dengan elemen identitas e. Jika   berlaku  , buktikan G adalah grup abelian.
5.    “non-routine proof” – where one has to prove the a group with an ever number of elements has an element that squares to the identity.
Contoh (soal 5):
G adalah grup berorde genap dengan elemen identitas e. Buktikan bahwa ada elemen   dalam G sedemikian sehingga  .

Berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa dari lima soal di atas, diperoleh beberapa kesalahan pembuktian, antara lain sebagai berikut.
Soal 1: Untuk membuktikan adanya elemen identitas dan invers pada  , kesalahan yang dilakukan mahasiswa adalah:
-    Salah dalam memaknai konsep identitas terhadap operasi “*” seperti memilih 1 sebagai elemen identitas.
-    Salah dalam memaknai konsep invers dari suatu elemen, seperti mengoperasikan   dan meyimpulkan bahwa invers di G adalah  .
Soal 2: Untuk membuktikan H subrup dari  , kesalahan yang dilakukan mahasiswa adalah:
-    Salah dalam memaknai konsep tertutup dan tidak mengetahui apa yang akan ditunjukkan untuk membuktikan soal tersebut. Seperti mengambil sebarang elemen   dan menyimpulkan H tertutup dengan dasar  .
-    Salah dalam mengidentifikasi yang diketahui dalam soal. Seperti menuliskan yang diketahui, tetapi tidak ada dalam soal.
Soal 3: Untuk membuktikan   mempunyai tepat satu elemen idempoten, kesalahan yang dilakukan mahasiswa adalah:
-    Tidak mengetahui apa yang diketahui dan yang akan ditunjukkan untuk membuktikan soal tersebut. Pendefinisian elemen idempoten dalam soal diartikan berlaku untuk setiap elemen yang ada di G.
Soal 4: Untuk membuktikan G grup abelian, kesalahan yang dilakukan mahasiswa adalah:
-    Tidak memahami apa yang akan ditunjukkan untuk membuktikan soal tersebut. Akibatnya apa yang ditulis dalam pembuktian tersebut tidak mengarah pada pembuktian.
-    Salah dalam memahami konsep  . Sehingga diubah dalam bentuk  .
Soal 5: Untuk membuktikan adanya elemen   sehingga  ,  kesalahan yang dilakukan mahasiswa adalah:
-    Tidak mengetahui langkah awal yang harus dilakukan, karena kesulitan mengembangkan hipotesis bahwa G berorde genap. Sehingga mahasiswa menuliskan pernyataan tanpa arti seperti  .
Setelah mencermati kesalahan-kesalahan yang dilakukan mahasiswa pada pengamatan yang masih sangat terbatas seperti yang dikemukakan di atas, beberapa kesalahan-kesalahan tersebut dapat diklasifikasikan sebagai “kesalahan konsep”. Kesalahan konsep yang dimaksudkan adalah kesalahan menggunakan ide abstrak dalam melakukan penggolongan atau klasifikasi. Seperti pada soal 1, mahasiswa mengklaim bahwa elemen identitas di   adalah 1.
Salah satu penyebab kesalahan tersebut, adalah kurangnya pemahaman mahasiswa terhadap soal, mereka masih mengalami kesulitan dalam mengidentifikasi “apa yang diketahui dalam soal” dan “apa yang akan dibuktikan”. Kalaupun kedua hal ini dapat dituliskan dengan benar, kesulitan lain yang muncul adalah “menghubungkan” apa yang diketahui dan sifat-sifat lain yang memenuhi dengan apa yang akan ditunjukkan untuk menyelesaikan soal tersebut.
PEMANFAATAN PETA KONSEP DALAM PEMBUKTIAN
Konsep dalam matematika menurut Soedjadi (1999/2000: 14) adalah idea abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. Berdasarkan pengertian ini dapat dikemukakan bahwa konsep-konsep dalam matematika dapat dihubungkan secara bermakna dari konsep-konsep pembentuk sebelumnya. Untuk menyatakan hubungan bermakna antara konsep-konsep dapat digunakan peta konsep. Novak & Gowin (dalam Jamiah, 1998: 28) mengemukakan bahwa peta konsep merupakan suatu alat (berupa skema) yang digunakan untuk menyatakan hubungan bermakna antara konsep-konsep dalam bentuk proposisi. Peta konsep berfungsi untuk memperjelas gagasan pokok bagi dosen dan mahasiswa yang sedang memusatkan perhatian pada tugas pelajaran yang spesifik. Selain itu, juga dapat menunjukkan secara visual berbagai jalan yang dapat ditempuh dalam menghubungkan pengertian-pengertian konsep di dalam permasalahannya. Dengan demikian peta konsep dapat digunakan dalam belajar bermakna, untuk mengaitkan konsep baru atau informasi baru dengan konsep yang telah ada dalam struktur kognitif mahasiswa. Polya (dalam Hudojo, 1988: 175) menyarankan langkah-langkah operasional dalam menyelesaikan masalah (termasuk masalah dalam pembuktian) sebagai berikut:
(1)    memahami masalah,
(2)    menyusun rencana pemecahan (pembuktian),
(3)    melaksanakan rencana pemecahan (pembuktian),
(4)    memeriksa kembali (evaluasi).
Jika ke empat langkah-langkah tersebut di atas diterapkan dalam menyelesaikan soal-soal pembuktian pada teori grup, maka langkah-langkah dalam pembuktian dapat diuraikan seperti berikut ini.
(1)    Memahami masalah (apa masalahnya?): memahami apa yang diketahui, dan memahami apa yang akan dibuktikan.
(2)    Merencanakan pembuktian (apa yang akan ditunjukkan?): menemukan hubungan yang diketahui dengan yang akan dibuktikan, memilih teorema-teorema, atau konsep-konsep yang dapat digunakan dalam pembuktian.
(3)    Melaksanakan pembuktian: setiap langkah dicek keabsahannya (berikan alasan setiap langkah).
(4)    Memeriksa kembali (evaluasi): sudah cocokkah hasilnya?, apakah yang diketahui dalam soal semuanya sudah termanfaatkan?, dan apakah teorema atau konsep yang digunakan memenuhi syarat-syaratnya?

Geometri Tranformasi

Published January 14, 2012 by andayanif3

GEOMETRI TRANFORMASI

Rumus Pencerminan
Rumus Umum Pencerminan dapat diperoleh sebagai berikut :
Misalkan persamaan sumbu s ialah :  ax + by + c = 0.
Garis PP’ dan s, saling berpotongan tegak lurus, maka gradient PP’ dan gradient s, berlaku gradient PP’ x gradient s =  1.  Dimana gradient s = -   dan gradient PP’ =   maka      a(y’ – y) = b(x’ – x)  bx’ – ay’ = bx – ay . . . . . . . . . (i).
Misalkan D tengah – tengah PP’ dengan koordinat ( , ),
dimana garis melalui D( , ), sehingga persamaan garis :
a( ) + b( ) + c = 0,  ax’ + by’ =  – ax – by – 2c  . . (ii).
Dari dua persamaan (i). dan (ii) yaitu :
bx’ – ay’ = bx – ay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (i).
ax’ + by’ =  – ax – by – 2c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii).
Sesudah dijabarkan dengan metode matriks, dari dua persamaan    bx’ – ay’ = bx – ay  dan ax’ + by’ =  – ax – by – 2c  diselesailan ke x’ dan y’ diperoleh :
x’ =     ……………………………..(iii)
dan
y’ =    …………………………….(iV)
Bentuk diatas dapat diubah sedemikian sehingga terdapat bentuk umum rumus umum pencerminan  I  sbb :

x’ = x –    dan y’ = y –     ………. (3)

Bentuk umum rumus umum pencerminan  I

x’ = x –    dan y’ = y –

Bentuk umum rumus umum pencerminan  II
Jika s dinyatakan dengan persamaan berbentuk normal :
S : x  cos   +  y  sin  – p = 0  dimana a diganti dengan cos  ;
b diganti dengan sin   dan c diganti dengan p,
Karena
1).  AA’   s maka gradien AA’ kali gradien s =  – 1. dimana gradien AA’ =   , sedangkan gradient s = –  , sehingga  diperoleh :
=    x’ sin  – x sin  = y’ cos  – y cos  
x’ sin  – y’ cos  = x sin  – y cos  ……………………(1).

2). S membagi AA’ menjadi dua sama panjang misal D dengan koordinat (  ,  ) .
S melalui D (  ,  )  maka :
. cos  +  . sin  – p = 0 
x’ cos  + x cos  + y’ sin  + y sin  – 2p = 0 
x’ cos  + y’ sin   =  x cos  + y sin  + 2p  ……………..(2)
dari (1) dan (2)
x’ sin  – y’ cos  = x sin  – y cos 
x’ cos  + y’ sin   = – x cos  – y sin  + 2p
ingat metode matrik untuk mencari variable x’ dan y’ sbb :
x’ =    proses
x’ = – x.cos 2 – ysin 2 + 2p.cos  ……………………..(3)
y’ =     proses
y’ = – x.sin 2  +  y.cos 2 + 2p.sin …………………..(3’)
Dari (3) dan (3’) di perolleh : rumus umum pecerminan II sebagai berikut
x’ =  – x cos 2  –  y sin2   +  2p cos
y’ =  – x sin 2   +  y cos 2  +  2p sin     ……………. (4)
atau
dengan bentuk matriks,
=    + 2p  …………………….(4’)
Catatan : Persamaan normal dari s : ax + by + c = 0 adalah :
+  +   = 0
identik dengan
x  cos   +  y  sin  – p = 0
Jadi cos   =   ,  sin  =   dan – p =

Contoh :
Dengan menggunakan rumus II
carilah Ms, jika s :
Berimpit dengan sumbu y.
Berimpit dengan sumbu x.
Berimpit dengan  y = x.
Berimpit dengan  y = – x.
Penyelesaian :
Berimpit dengan sumbu y, berarti x = 0.
Persamaan normal : x  cos  +  y  sin  – p = 0
Untuk x = 0 berarti  cos  = 1 , sin  = 0   = 00 dan p = 0
Ms(x,y) (x’,y’) dengan  =    + 2p
=    + 2.0
=  .  + 0  =    =  .
Jadi x’ = – x, dan y’ = y
Lainnya untuk latihan.

Beberapa kejadian khusus :
1. My =     Menunjukan refleksi terhadap sumbu y atau
terhadap x = 0,  (Bila s berimpit dengan sumbu y)
2. Mx =     Menunjukan refleksi terhadap sumbu x atau
terhadap y = 0  (Bila s berimpit dengan sumbu x)
3. Ml  =       Menunjukan refleksi terhadap garis y = x
(Bila s berimpit dengan sumbu y = x)
4. Mm =     Menunjukan refleksi terhadap garis y = – x
(Bila s berimpit dengan sumbu y = – x)
Contoh :
Diketahui s : x + y – 8 = 0.
Carilah :
a. Ms
b. Ms(x2 + y2 = 4)
Penyelesaian :
s : x + y – 8 = 0  bentuk normalnya adalah :
x/√(〖1^2+1〗^2 )  + y/√(1^2+1^2 )+ 8/√(1^2+1^2 )=  +   –   = 0 sehingga
cos  =   =   , sin  =   =    berarti  = 450
dan p =   = 4
sehingga M(x,y)   (x’,y’) dengan
=   + 2p
=   + 2. 4
=  .  + 2. 4
=  +

Maka  x^’ =  – y + 8    y =  – x^’ + 8  dan
y’ =  – x + 8    x =  – y’ + 8
Jadi Ms(x2 + y2 = 4) lingkaran pusat (0,0) dan jari – jari 2,
menjadi lingkaran (– x’ + 8)2 + (– y’ + 8)2 = 4 pusat (8,8)
dan jari – jari 2.


Himpunan

Published January 14, 2012 by andayanif3

TEORI HIMPUNAN

PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.
Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.
Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang  belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya.
Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang.
Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

Cara Menyatakan Himpunan dan Keanggotaanya
Seperti telah disebutkan di atas himpunan diberi nama atau dinyatakan dengan huruf kapital. Sedangkan anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil. Anggota himpunan ditulis di antara kurung  kurawal, anggota satu dengan yang lainya dipisahkan dengan tanda koma. Dengan kata lain dituliskan dengan cara pendaftaran (roster method).
Selain itu himpunan dapat pula dinyatakan dengan sifat keanggotaan (ruler method).

a.    Dengan Cara Pendaftaran (Roster Method)
Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan semua anggotanya selain disebut pendaftaran juga disebut cara tabulasi.
Objek yang tidak didaftar berarti objek bukan anggota himpunan tersebut. Apabila anggota himpunan tersebut tidak banyak, semua anggotanya dapat ditulis. Namun, bila himpunan itu mempunyai anggota yang banyak dan anggotanya memiliki keteraturan, untuk menuliskanya dapat diwakili dengan tiga titik”…”.

Contoh 1 : Nyatakan himpunan berikut dengan Cara Pendaftaran.
A = himpunan bilangan asli
B = himpunan bilangan ganjil kurang dari 30.
C = himpunan bilangan bulat.
D = himpunan bilangan prima  kuran dari 10.
E = himpunan hari dalam sepekan.

Jawab:
A =
B =
C =
D =
E  =
Keterangan:
1)    Himpunan A, B, dan C adalah himpunan yang anggotanya banyak, dan penulisanya dua kali tiga titik “…”.
2)    Himpunan D dan E anggotanya dapat ditulis semua karena anggotanya sedikit.

b.    Dengan Sifat keanggotaan (Ruler Method)
Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaanya, cara ini juga disebut pencirian. Cara ini dengan menuliskan syarat yang harus dipenuhi oleh anggota himpunan itu. Objek atau elemen yang memenuhi syarat himpunan itu adalah anggotanya.
Dalam penulisan cara ini anggota himpunan menggunakan variabel, misalnya x dan syarat keanggotanya misalnya P(x). P(x) berarti himpunan tersebut bersifat P. Himpunan tersebut ditulis A=  ;” ” garis tegak dibaca ”sedemikian sehingga”. Cara membaca himpunan tersebut adalah A himpunan semua x sedekian sehingga x mempunyai sifat P. A =  selain disebut cara menyatakan himpunan dengan sifat keanggotaan juga disebut notasi pembentuk himpunan.

Contoh 2: Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentukan himpunan.
A =
B =
C =
D. =

Jawab:
A =
B =
C =
D =

Keanggotaan Suatu Himpunan
Dalam matematika lambang anggota adalah ”  ”, sedangkan bukan anggota dilambangkan dengan ” ”. Anggota himpunan A =    adalah a, i, u, e, o dan b, c, d bukan anggota A. Dengan demikian penulisan di atas dapat dinyatakan dengan a   A, e   A, i   A, o   A, u   A.Tetapi b   A, c   A, dan d   A.
Himpunan B =  .Jadi 2   B, 5   B, 7   B. Tetapi 1   B, 9   B. Dan bila anda menemukan statu himpunan P =   berarti a   P dan    P.    anggota P yang berbentuk himpunan.

Banyaknya Anggota Statu Himpunan
Banyaknya anggota suatu himpunan dinamakan juga bilangan kardinal dan diberi lambang “n”. Jika A adalah suatu himpunan, maka banyaknya anggota dari himpunan A ditulis n(A).

Contoh 3: Berapakah bilangan kardinal dari himpunan di bawah ini?
A =
B =
C =
D =

Jawab:
A =  , maka kardinal A adalah n(A) = 6
B =   =   maka bilangan kardinal B adalah n(B) = 7
C =  , berarti juga C =  , maka bilangan kardinal C adalah n(C) = ~.
D =  , berarti juga D =  , maka bilangan kardinal D adalah n(D) = ~.

Himpunan C dan D adalah himpunan yang tidak dapat ditentukan banyak anggotanya. ”~” melambangkan bilangan kardinal tak terhingga.

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.