PEMANFAATAN PETA KONSEP
DALAM MENYELESAIKAN SOAL PEMBUKTIAN PADA TEORI GROUP
PENDAHULUAN
Mata kuliah struktur aljabar merupakan salah satu mata kuliah yang diberikan pada program strata-1 (S1) pendidikan matematika. Pemberian mata kuliah tersebut dimaksudkan agar mahasiswa memahami beberapa struktur dalam aljabar, dan dapat menerapkannya untuk menyelesaikan masalah yang sederhana dalam aljabar, serta mampu berpikir logis dan bernalar secara matematika dalam menyelesaikan suatu masalah. Dengan demikian, mata kuliah struktur aljabar sangat penting untuk dikuasai mahasiswa dalam rangka meningkatkan daya nalar yang deduktif, logis dan sistematis.
Mata kuliah struktur aljabar sebagai bagian dari aljabar modern merupakan mata kuliah dengan struktur deduktif aksiomatis yang ketat. Sebagaimana yang dikemukakan Birkhoff (1941: v) “the most striking characteristics of modern algebra is the deduction of theoritical properties of such formal systems as groups, rings, fields, and vector spaces”. Untuk itu, struktur aljabar sarat dengan definisi dan teorema sehingga mahasiswa dalam mempelajarinya dituntut kemampuan untuk membuktikan teorema, dan dapat memanfaatkan definisi dan teorema-teorema yang ada dalam menyelesaikan soal-soal yang pada umumnya berbentuk pembuktian. Kromodihardjo (1990: 11.1) menegaskan bahwa pada mata kuliah struktur aljabar kita tidak melakukan perhitungan, tetapi hanya belajar konsep.
Pentingnya kemampuan pembuktian dalam mata kuliah struktur aljabar dapat di lihat pada buku-buku teks yang selalu mencantumkan soal-soal yang berbentuk pembuktian. Seperti buku-buku teks yang ditulis Birkhoff (1941, 1979), Fraleigh (1989); Herstein (1975); Kromodihardjo (1988); Sukahar (1997); Suradi (1997) pada umumnya soal-soal yang diberikan merupakan soal pembuktian.
Berdasarkan pengalaman penulis dalam mengajarkan mata kuliah struktur aljabar di FMIPA Universitas Negeri Makassar, nampak bahwa kemampuan mahasiswa dalam pembuk-tian masih kurang menggembirakan. Hal ini dapat kita lihat dari pekerjaan mahasiswa dalam menyelesaikan soal struktur aljabar. Mereka masih mengalami kesulitan dalam mengkaitkan informasi yang diketahui dan yang akan dibuktikan dalam soal. Walaupun dalam proses perkuliahan setiap latihan selalu dimunculkan soal pembuktian. Mungkin, mahasiswa kesulitan mengkaitkan konsep-konsep yang begitu banyak terhadap permasalahan yang dihadapinya, sehingga mengalami kesulitan menentukan langkah yang akan ditempuh dalam membuktikan soal tersebut. Salah satu cara yang dapat mengatasi kesulitan tersebut, adalah memanfaatkan peta konsep.
PEMBUKTIAN DALAM TEORI GRUP
Mata kuliah struktur aljabar memperkenalkan konsep tentang aljabar abstrak yang lebih ditekankan pada kemampuan berpikir logis dan bernalar sistematis dalam menyelesaikan masalah. Isi mata kuliah ini berdasarkan kurikulum pendidikan matematika dan ilmu pengetahuan alam tahun 1990, untuk program S1 LPTK adalah: (1) Tinjauan ulang tentang operasi dan himpunan, pemetaan dan relasi ekivalen, (2) Grup meliputi: sifat-sifat dan contoh grup, order grup, sifat-sifat dan contoh grup siklis, subgrup normal, homomorfisma grup, peta dan kernel, (3) Ring meliputi: sifat-sifat dan contoh ring, homomofisma ring, daerah integral, field dan ideal, dan (4) Ring polinom atas field bilangan real.
Pembahasan dalam artikel ini difokuskan pada topik teori grup dan dibatasi pada topik yang dikategorikan sebagai grup elementer. Beberapa topik dalam grup elementer yang dimaksud adalah (1) definisi grup; (2) sifat-sifat sederhana dari grup, (3) definisi subgrup, (4) beberapa teorema tentang subgrup. Topik-topik dalam grup elementer ini, didasari oleh beberapa aksioma. Hal ini dapat di lihat dari definisi grup berikut:
Misalkan G adalah himpunan yang tidak kosong dan * operasi yang didefinisikan dalam G. disebut grup jika memenuhi:
(1) (sifat tertutup)
(2) (sifat assosiatif)
(3) (ada elemen identitas)
(4) (ada elemen invers)
Selanjutnya sifat (1), (2), (3), dan (4) biasa disebut aksioma dari grup. Menurut Soedjadi (1999/2000) “aksioma” merupakan “pernyataan pangkal” dalam struktur matematika, yang diperlukan agar dapat dihindarkan berputar-putar dalam pembuktian. Sedangkan istilah sistem diartikan sebagai “sekumpulan unsur-unsur atau elemen yang terkait satu sama lain dan mempunyai tujuan tertentu”, dan struktur diartikan sebagai “suatu sistem yang didalamnya memuat atau diperhatikan adanya hubungan yang hirarkis”.
Lebih lanjut Soedjadi mengemukakan bahwa suatu kumpulan aksioma dapat merupakan sebuah sistem apabila memenuhi (1) konsisten: aksioma-aksioma tersebut tidak kontradiktif; (2) independen: aksioma yang satu tidak dapat diturunkan dari aksioma yang lain; dan (3) komplit atau lengkap: pernyataan yang diturunkan dari sistem tersebut dapat dibuktikan kebenaran dan kesalahannya. Oleh karena itu, kumpulan keempat aksioma dalam grup yang disebutkan di atas membentuk sebuah sistem aksioma, yang disebut sistem aksioma grup.
Berdasarkan uraian di atas, untuk menyelesaikan soal-soal pembuktian dalam teori grup, diperlukan pemahaman yang mendalam tentang struktur grup (aksioma-aksioma, konsep-konsep yang didefinisikan, teorema-teorema). Salah satu cara untuk memahami keterkaitan antara struktur dalam teori grup adalah menggunakan peta konsep. Untuk itu, yang akan dibahas lebih lanjut adalah pemanfaatan peta konsep dalam menyelesaikan soal-soal pembuktian dalam grup.
Pembuktian merupakan salah satu masalah dalam matematika. Menurut Polya (1981: 119) masalah dalam matematika dikelompokkan menjadi dua jenis, yaitu masalah untuk menemukan (problem to find) dan masalah untuk membuktikan (problem to prove). Menurut Polya tujuan pembuktian adalah untuk menunjukkan bahwa suatu pernyataan itu adalah benar atau salah, tidak kedua-duanya. Kita harus menjawab pertanyaan “apakah itu benar atau salah?” (tentu dalam lingkup logika dikotomis).
Proses dalam pembuktian matematika dapat menggunakan definisi, teorema atau pernyataan yang telah dibuktikan sebelumnya. Oleh karena itu dalam memantapkan keyakinan akan bukti yang telah diperoleh, setiap langkah yang digunakan dalam pembuktian harus selalu dipertanyakan “mengapa” dan “apa alasannya” langkah tersebut dilakukan. Demikian juga dalam membuktikan soal pada teori grup, setiap langkah yang ditempuh senantiasa harus dipertanyakan keabsahannya. Untuk itu, penguasaan konsep merupakan syarat utama dalam menyelesaikan soal pembuktian.
Menurut Asikin (1997: 12) bahwa berbagai soal pembuktian yang ada pada: (1) buku teks struktur aljabar, dan (2) soal-soal yang sering dimunculkan dalam ujian tengah semester, quiz, maupun ujian akhir semester, hanya berkisar pada beberapa masalah berikut:
1. membuktikan berdasar aksioma yang telah diketahui atau berdasar teorema, apakah suatu himpunan beserta operasi yang didefinisikan merupakan grup atau bukan.
2. membuktikan sifat tunggalnya elemen identitas dan invers.
3. membuktikan apakah suatu grup abelian atau bukan berdasar persyaratan yang diberikan.
4. membuktikan apakah suatu subset takkosong dari suatu grup yang diberikan merupakan subgrup atau bukan.
Selanjutnya Hart (dalam Asikin, 1997) mengklasifikasikan beberapa tipe soal pembuktian dalam teori grup elementer sebagai berikut:
1. ”satisfy axioms proof” – where one has to prove that something is a group.
Contoh (soal 1): Misalkan G himpunan bilangan rasional positif, dan operasi dalam G didefinisikan oleh . Buktikan bahwa merupakan grup.
2. “set-definition proof” – where one has to prove that particular subset, given by a defining property, is subgroup.
Contoh (soal 2): Buktikan bahwa adalah suatu subgrup dari G, jika suatu grup dan .
3. “uniqueness proof” – where one has to prove the existence of a unique ‘idempotent’ element.
Contoh (soal 3): Misalkan adalah grup, dan definisikan disebut elemen idempoten bila a a = a. Buktikan bahwa grup G mempunyai tepat satu elemen idempoten.
4. “syntactic proof” – where one uses a syntactic. i.e. a procedural. ‘symbol-pushing’ to prove that given a group is abelian.
Contoh (soal 4):
Jika G adalah grup dengan elemen identitas e. Jika berlaku , buktikan G adalah grup abelian.
5. “non-routine proof” – where one has to prove the a group with an ever number of elements has an element that squares to the identity.
Contoh (soal 5):
G adalah grup berorde genap dengan elemen identitas e. Buktikan bahwa ada elemen dalam G sedemikian sehingga .
Berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa dari lima soal di atas, diperoleh beberapa kesalahan pembuktian, antara lain sebagai berikut.
Soal 1: Untuk membuktikan adanya elemen identitas dan invers pada , kesalahan yang dilakukan mahasiswa adalah:
– Salah dalam memaknai konsep identitas terhadap operasi “*” seperti memilih 1 sebagai elemen identitas.
– Salah dalam memaknai konsep invers dari suatu elemen, seperti mengoperasikan dan meyimpulkan bahwa invers di G adalah .
Soal 2: Untuk membuktikan H subrup dari , kesalahan yang dilakukan mahasiswa adalah:
– Salah dalam memaknai konsep tertutup dan tidak mengetahui apa yang akan ditunjukkan untuk membuktikan soal tersebut. Seperti mengambil sebarang elemen dan menyimpulkan H tertutup dengan dasar .
– Salah dalam mengidentifikasi yang diketahui dalam soal. Seperti menuliskan yang diketahui, tetapi tidak ada dalam soal.
Soal 3: Untuk membuktikan mempunyai tepat satu elemen idempoten, kesalahan yang dilakukan mahasiswa adalah:
– Tidak mengetahui apa yang diketahui dan yang akan ditunjukkan untuk membuktikan soal tersebut. Pendefinisian elemen idempoten dalam soal diartikan berlaku untuk setiap elemen yang ada di G.
Soal 4: Untuk membuktikan G grup abelian, kesalahan yang dilakukan mahasiswa adalah:
– Tidak memahami apa yang akan ditunjukkan untuk membuktikan soal tersebut. Akibatnya apa yang ditulis dalam pembuktian tersebut tidak mengarah pada pembuktian.
– Salah dalam memahami konsep . Sehingga diubah dalam bentuk .
Soal 5: Untuk membuktikan adanya elemen sehingga , kesalahan yang dilakukan mahasiswa adalah:
– Tidak mengetahui langkah awal yang harus dilakukan, karena kesulitan mengembangkan hipotesis bahwa G berorde genap. Sehingga mahasiswa menuliskan pernyataan tanpa arti seperti .
Setelah mencermati kesalahan-kesalahan yang dilakukan mahasiswa pada pengamatan yang masih sangat terbatas seperti yang dikemukakan di atas, beberapa kesalahan-kesalahan tersebut dapat diklasifikasikan sebagai “kesalahan konsep”. Kesalahan konsep yang dimaksudkan adalah kesalahan menggunakan ide abstrak dalam melakukan penggolongan atau klasifikasi. Seperti pada soal 1, mahasiswa mengklaim bahwa elemen identitas di adalah 1.
Salah satu penyebab kesalahan tersebut, adalah kurangnya pemahaman mahasiswa terhadap soal, mereka masih mengalami kesulitan dalam mengidentifikasi “apa yang diketahui dalam soal” dan “apa yang akan dibuktikan”. Kalaupun kedua hal ini dapat dituliskan dengan benar, kesulitan lain yang muncul adalah “menghubungkan” apa yang diketahui dan sifat-sifat lain yang memenuhi dengan apa yang akan ditunjukkan untuk menyelesaikan soal tersebut.
PEMANFAATAN PETA KONSEP DALAM PEMBUKTIAN
Konsep dalam matematika menurut Soedjadi (1999/2000: 14) adalah idea abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. Berdasarkan pengertian ini dapat dikemukakan bahwa konsep-konsep dalam matematika dapat dihubungkan secara bermakna dari konsep-konsep pembentuk sebelumnya. Untuk menyatakan hubungan bermakna antara konsep-konsep dapat digunakan peta konsep. Novak & Gowin (dalam Jamiah, 1998: 28) mengemukakan bahwa peta konsep merupakan suatu alat (berupa skema) yang digunakan untuk menyatakan hubungan bermakna antara konsep-konsep dalam bentuk proposisi. Peta konsep berfungsi untuk memperjelas gagasan pokok bagi dosen dan mahasiswa yang sedang memusatkan perhatian pada tugas pelajaran yang spesifik. Selain itu, juga dapat menunjukkan secara visual berbagai jalan yang dapat ditempuh dalam menghubungkan pengertian-pengertian konsep di dalam permasalahannya. Dengan demikian peta konsep dapat digunakan dalam belajar bermakna, untuk mengaitkan konsep baru atau informasi baru dengan konsep yang telah ada dalam struktur kognitif mahasiswa. Polya (dalam Hudojo, 1988: 175) menyarankan langkah-langkah operasional dalam menyelesaikan masalah (termasuk masalah dalam pembuktian) sebagai berikut:
(1) memahami masalah,
(2) menyusun rencana pemecahan (pembuktian),
(3) melaksanakan rencana pemecahan (pembuktian),
(4) memeriksa kembali (evaluasi).
Jika ke empat langkah-langkah tersebut di atas diterapkan dalam menyelesaikan soal-soal pembuktian pada teori grup, maka langkah-langkah dalam pembuktian dapat diuraikan seperti berikut ini.
(1) Memahami masalah (apa masalahnya?): memahami apa yang diketahui, dan memahami apa yang akan dibuktikan.
(2) Merencanakan pembuktian (apa yang akan ditunjukkan?): menemukan hubungan yang diketahui dengan yang akan dibuktikan, memilih teorema-teorema, atau konsep-konsep yang dapat digunakan dalam pembuktian.
(3) Melaksanakan pembuktian: setiap langkah dicek keabsahannya (berikan alasan setiap langkah).
(4) Memeriksa kembali (evaluasi): sudah cocokkah hasilnya?, apakah yang diketahui dalam soal semuanya sudah termanfaatkan?, dan apakah teorema atau konsep yang digunakan memenuhi syarat-syaratnya?
FITRI ANDAYANI 