Geometri Tranformasi

Published January 14, 2012 by andayanif3

GEOMETRI TRANFORMASI

Rumus Pencerminan
Rumus Umum Pencerminan dapat diperoleh sebagai berikut :
Misalkan persamaan sumbu s ialah :  ax + by + c = 0.
Garis PP’ dan s, saling berpotongan tegak lurus, maka gradient PP’ dan gradient s, berlaku gradient PP’ x gradient s =  1.  Dimana gradient s = –   dan gradient PP’ =   maka      a(y’ – y) = b(x’ – x)  bx’ – ay’ = bx – ay . . . . . . . . . (i).
Misalkan D tengah – tengah PP’ dengan koordinat ( , ),
dimana garis melalui D( , ), sehingga persamaan garis :
a( ) + b( ) + c = 0,  ax’ + by’ =  – ax – by – 2c  . . (ii).
Dari dua persamaan (i). dan (ii) yaitu :
bx’ – ay’ = bx – ay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (i).
ax’ + by’ =  – ax – by – 2c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii).
Sesudah dijabarkan dengan metode matriks, dari dua persamaan    bx’ – ay’ = bx – ay  dan ax’ + by’ =  – ax – by – 2c  diselesailan ke x’ dan y’ diperoleh :
x’ =     ……………………………..(iii)
dan
y’ =    …………………………….(iV)
Bentuk diatas dapat diubah sedemikian sehingga terdapat bentuk umum rumus umum pencerminan  I  sbb :

x’ = x –    dan y’ = y –     ………. (3)

Bentuk umum rumus umum pencerminan  I

x’ = x –    dan y’ = y –

Bentuk umum rumus umum pencerminan  II
Jika s dinyatakan dengan persamaan berbentuk normal :
S : x  cos   +  y  sin  – p = 0  dimana a diganti dengan cos  ;
b diganti dengan sin   dan c diganti dengan p,
Karena
1).  AA’   s maka gradien AA’ kali gradien s =  – 1. dimana gradien AA’ =   , sedangkan gradient s = –  , sehingga  diperoleh :
=    x’ sin  – x sin  = y’ cos  – y cos  
x’ sin  – y’ cos  = x sin  – y cos  ……………………(1).

2). S membagi AA’ menjadi dua sama panjang misal D dengan koordinat (  ,  ) .
S melalui D (  ,  )  maka :
. cos  +  . sin  – p = 0 
x’ cos  + x cos  + y’ sin  + y sin  – 2p = 0 
x’ cos  + y’ sin   =  x cos  + y sin  + 2p  ……………..(2)
dari (1) dan (2)
x’ sin  – y’ cos  = x sin  – y cos 
x’ cos  + y’ sin   = – x cos  – y sin  + 2p
ingat metode matrik untuk mencari variable x’ dan y’ sbb :
x’ =    proses
x’ = – x.cos 2 – ysin 2 + 2p.cos  ……………………..(3)
y’ =     proses
y’ = – x.sin 2  +  y.cos 2 + 2p.sin …………………..(3’)
Dari (3) dan (3’) di perolleh : rumus umum pecerminan II sebagai berikut
x’ =  – x cos 2  –  y sin2   +  2p cos
y’ =  – x sin 2   +  y cos 2  +  2p sin     ……………. (4)
atau
dengan bentuk matriks,
=    + 2p  …………………….(4’)
Catatan : Persamaan normal dari s : ax + by + c = 0 adalah :
+  +   = 0
identik dengan
x  cos   +  y  sin  – p = 0
Jadi cos   =   ,  sin  =   dan – p =

Contoh :
Dengan menggunakan rumus II
carilah Ms, jika s :
Berimpit dengan sumbu y.
Berimpit dengan sumbu x.
Berimpit dengan  y = x.
Berimpit dengan  y = – x.
Penyelesaian :
Berimpit dengan sumbu y, berarti x = 0.
Persamaan normal : x  cos  +  y  sin  – p = 0
Untuk x = 0 berarti  cos  = 1 , sin  = 0   = 00 dan p = 0
Ms(x,y) (x’,y’) dengan  =    + 2p
=    + 2.0
=  .  + 0  =    =  .
Jadi x’ = – x, dan y’ = y
Lainnya untuk latihan.

Beberapa kejadian khusus :
1. My =     Menunjukan refleksi terhadap sumbu y atau
terhadap x = 0,  (Bila s berimpit dengan sumbu y)
2. Mx =     Menunjukan refleksi terhadap sumbu x atau
terhadap y = 0  (Bila s berimpit dengan sumbu x)
3. Ml  =       Menunjukan refleksi terhadap garis y = x
(Bila s berimpit dengan sumbu y = x)
4. Mm =     Menunjukan refleksi terhadap garis y = – x
(Bila s berimpit dengan sumbu y = – x)
Contoh :
Diketahui s : x + y – 8 = 0.
Carilah :
a. Ms
b. Ms(x2 + y2 = 4)
Penyelesaian :
s : x + y – 8 = 0  bentuk normalnya adalah :
x/√(〖1^2+1〗^2 )  + y/√(1^2+1^2 )+ 8/√(1^2+1^2 )=  +   –   = 0 sehingga
cos  =   =   , sin  =   =    berarti  = 450
dan p =   = 4
sehingga M(x,y)   (x’,y’) dengan
=   + 2p
=   + 2. 4
=  .  + 2. 4
=  +

Maka  x^’ =  – y + 8    y =  – x^’ + 8  dan
y’ =  – x + 8    x =  – y’ + 8
Jadi Ms(x2 + y2 = 4) lingkaran pusat (0,0) dan jari – jari 2,
menjadi lingkaran (– x’ + 8)2 + (– y’ + 8)2 = 4 pusat (8,8)
dan jari – jari 2.


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: